MODELLO RISOLUTIVO DI RADICI DI INDICE : 3° , 4° , 5° , DI NUMERI

INTERI COMPRESI FRA 10-99.

Caso per  radici di indice 3.  

Se si volesse calcolare la radice terza di un numero intero , ottenuto facendo il cubo di un numero intero compreso fra 10-99 , si può procedere nei seguenti termini :

Fase 1

Si considera un numero , che abbia le caratteristiche sopra dette , e lo si suddivide in gruppi ,da destra verso sinistra prima di una cifra e poi di due .

Fase 2  

Si analizza il gruppo esterno di sinistra e si osserva quale numero intero compreso fra 1 e 9 elevato al cubo e’ minore o uguale al numero del primo gruppo di sinistra .

Tale numero costituirà la prima cifra cercata .

La seconda cifra del numero di base corrisponde all’ ultima di quel numero ottenuto elevando al cubo l’ ultimo gruppo di destra composto da una cifra .

Per chiarezza si suggerisce il seguente esempio :

Se si considera 12.117 , potenza di esponente 3 ,applicando il metodo si deve dividerlo in gruppi prima di una e poi di due cifre in questo modo : 12-11-7 ; considero 12 e poiché il numero da 1 a 9 elevato al cubo minore di 12 e’ 2 , questo costituirà la prima cifra cercata poiché  già 3 elevato al cubo e’ 27 che e’ maggiore di 12 .

Per calcolare la seconda cifra si considera l’ ultima cifra staccata cioè 7 ( che costituisce il gruppo di destra ) , questa cifra elevata a sua volta al cubo , da un numero la cui ultima cifra e’ quella cercata . Infatti 7 = 343 e di questo numero l’ ultima cifra e’ 3 che costituirà la seconda cifra della base .*

Quindi , avendo avuto 2 dal primo gruppo ( 12 ) e 3 dal terzo ( 7 ) , il numero cercato e’ 23 .

* Si può evitare di elevare al cubo per avere l’ultima cifra perché si può tener conto che :

I numeri base che terminano con 2 hanno come potenza di indice 3 un numero la cui ultima cifra e’ 8 .

I numeri base che terminano con 3 hanno come potenza di indice 3 un numero la cui ultima cifra e’ 7 .

I numeri base che terminano con 7 hanno come potenza di indice 3 un numero la cui ultima cifra e’ 3 .

I numeri base che terminano con 8 hanno come potenza di indice 3 un numero la cui ultima cifra e’ 2 .

I numeri base che terminano con 0,1,4,5,6,9, hanno come potenza di indice 3 un numero la cui ultima cifra e’ rispettivamente 0,1,4,5,6,9 .

Per il caso di radici di indice 4-5-6 ….

Fase 1

     Se si considera un numero che abbia le caratteristiche sopra dette , e lo si suddivide in gruppi , da destra verso sinistra prima di una cifra e poi di tre , di quattro , di cinque …. 

Fase 2  

Si analizza il gruppo esterno di sinistra e si osserva quale numero intero compreso fra 1 e 9 elevato alla quarta , alla quinta , alla sesta … e’ minore o uguale al numero del primo gruppo di sinistra .

Tale numero costituirà la prima cifra cercata .  

Per individuare la seconda cifra nelle radici di indice 4 Si tiene conto che le basi pari ad eccezione di quelli che terminano con zero , generano potenza di indice quattro corrispondenti a numeri con 6 come ultima cifra , mentre quelle dispari ad eccezione quelli che terminano con 5 generano potenze di indice quattro corrispondenti a numeri con 1 come ultima cifra . Quindi se si ha un numero la cui ultima cifra e’ 1 si potrà dire che l’ ultima cifra della base e’ 1, o 3 o 7 o 9 ; se invece e’ 6 si potrà dire che l’ ultima cifra della base e’ 2, o 4 o 6 o 8 .

Si hanno cosi’ quattro possibilità . Per limitare il campo di soluzioni ad una soltanto si dovrà calcolare prima la potenza di indice quattro del numero avente come cifra di sinistra ,quella ottenuta nella fase 2 e poi come cifra di destra si ipotizza sempre 5 . Questo numero ottenuto si confronterà con il numero di cui si vuol conoscere la base .

  Caso a)

avrà come seconda cifra o 1 o 3 . Se invece fosse pari , allora si potrà dire che la seconda cifra del numero di base e’ o 2 o 4 .

Caso b) 

  Se il numero dato e’ inferiore a quello ottenuto ed e’ anche dispari , allora il numero di base avrà come seconda cifra o 7 o 9 . Se invece fosse pari , allora si potrà dire che la seconda cifra del numero di base e’ o 6 o 8 .

In questa maniera si dovrà scegliere fra due soluzioni .

Nel caso a) se il numero dato e’ dispari , si considera o 1 o 3 come seconda cifra del numero di base e lo si eleva alla quarta . Se questo numero calcolato considerando 1 , corrisponde a quello dato , la base cercata avrà 1 come seconda cifra , se invece questa corrispondenza non si avrà la seconda cifra del numero di base sarà  3 , e viceversa

Se il numero dato e’ pari si considera come seconda cifra o 2 o 4 e lo si eleva alla quarta . Se questo numero calcolato considerando 2 , corrisponde a quello dato , allora la base cercata avrà come seconda cifra 2 . Se ciò non si verifica , allora la base , avrà come seconda cifra 4 , e viceversa .

Nel caso b) se il numero dato e’ dispari , si considera o 7 o 9 come seconda cifra del numero di base e lo si eleva alla quarta . Se questo numero calcolato considerando 7 , corrisponde a quello dato , la base cercata avrà7 come seconda cifra , se invece questa corrispondenza non si avrà seconda cifra del numero di base sarà9 , e viceversa

Se il numero dato e’ pari si considera come seconda cifra o 6 o 8 e lo si eleva alla quarta . Se questo numero calcolato considerando 6 , corrisponde a quello dato , allora la base cercata avrà come seconda cifra 6 . Se ciò non si verifica , allora la base , avrà come seconda cifra 8 , e viceversa .

L’ ottimizzazione del calcolo finalizzata al risparmio di tempo si ottiene : sostituendo alla procedura sopra indicata di prodotti , con dei prodotti parziali ; con tabelle che definiscono gli incrementi che si ottengono passando da una base a quella successiva ; e con prodotti di fattori approssimati .

Tabella di indici

Per individuare la seconda cifra nelle radici di indice 5

La seconda cifra del numero di base corrisponde all’ultima di quel numero ottenuto elevando alla quinta l’ultimo gruppo di destra composto da una cifra .

Si può evitare di elevare alla quinta per avere l’ultima cifra perché si può tenere conto che :

I numeri base che terminano con 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, hanno come potenza di indice 5 un numero la cui ultima cifra e’ rispettivamente 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 .

  SAMMICHELE, li  12 Ottobre 1999                                  

 L’ideatore del metodo

 ANTONIO SPINELLI

Studente universitario al Politecnico di Torino

Collaboratore della Sezione Mathesis di Gioia del Colle

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